1. Конспект для учителя по теме «Планиметрические задачи на экстремум»
Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки решения планиметрических задач на экстремумы.
Примеры с решением
Пример 1.
Задан прямоугольник с периметром 56 см. Каковы должны быть его стороны, чтобы площадь была наибольшей?
Решение:
Обозначим одну из сторон за 
, тогда вторая сторона:
Площадь такого прямоугольника составит:
Требуется найти максимум функции 
.
Это квадратичная функция, ее график – парабола, ветви которой направлены вниз, см. рис. 1.
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Множество значений данной функции есть отрицательно направленный луч. Очевидно, что максимума он достигает в своей вершине:
bra-56-planimetrich-zadachi/m56-5.png" alt="m56-5" width="80%" />
Можно также использовать для решения дифференцирование. Найдем производную:
Определим критические точки:
Так,
– точка экстремума, слева от нее производная положительна, а справа –отрицательна, см. рис. 2.
Рис. 2. Интервалы знакопостоянства производной
Очевидно, что – точка максимума. В таком случае площадь прямоугольника максимальна, когда его стороны равны 14 см, то есть когда он является квадратом.
Ответ: площадь максимальна, когда стороны прямоугольника равны 14 см.
Алгоритм нахождения максимального значения площади с заданными параметрами
- Выразить площадь через функцию.
- Вывести зависимость между переменными и получить функцию от одной переменной.
- Найти производную этой функции.
- С помощью производной найти точку экстремума функции на заданном промежутке.
Примеры для самостоятельного решения
Пример 1
В окружность радиуса 
вписана трапеция 
, основание которой является диаметром окружности (см. рис. 4). Найти наибольшую площадь трапеции.
Рис. 3. Чертеж к задаче
Решение:
Здесь около трапеции описана окружность, а значит, трапеция равнобедренная. Это следует, например, из наличия оси симметрии, которая проходит через середины оснований.
Чтобы полностью задать трапецию, необходимо выразить еще хотя бы один ее элемент – большее основание трапеции по условию равно 
.
Пусть основания трапеции 
, 
(см. рис. 4). Тогда ее площадь:
Рис. 4. Дополнительные построения
Средняя линия трапеции, согласно свойствам, равна отрезку 
. Угол 
прямой, т. к. опирается на диаметр окружности. Выразим необходимые элементы через радиус окружности и угол 
:
Тогда искомая площадь:
Итак, требуется найти наибольшее значение функции
на отрезке 
.
Найдем производную:
Найдем точки экстремума. Поскольку перед скобкой стоит постоянный ненулевой множитель, его можно не учитывать:
Отрицательное значение косинуса нам не подходит, т. к. угол – острый угол трапеции.
Так, точки экстремума:
Вычислим значение функции в критических точках и на концах отрезка:
Ответ:
Комментарий: решение задачи станет проще, если выбрать переменной функции площади
центральный угол 
(см. рис. 5).
Рис. 5. Поясняющий чертеж
Тогда имеем:
Тогда искомая площадь:
Найдем производную, не учитывая постоянный численный множитель:
Найдем точки экстремума:
Второе решение не подходит, т. к. угол острый.
Далее аналогично первому случаю нужно сравнить значения функции на концах отрезка и в точке экстремума.
Ответ: вторым способом получаем такой же ответ, как и в первом случае
Домашнее задание
1.
Площадь прямоугольника составляет 
. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы периметр был минимальным?
Решение
Пусть стороны прямоугольника 
,
. Тогда:
Периметр такого прямоугольника составит:
Требуется найти минимум данной функции. Найдем производную:
Найдем точки экстремума:
Очевидно, что 
, поэтому нас интересует только точка 
. Слева от нее производная отрицательна, а справа положительна, см. рис. 3.
Рис. 6. Интервалы знакопостоянства производной
Так, точка минимума.
Ответ: чтобы периметр прямоугольника был минимальным, его стороны должны составить 4 см.
