1. Конспект для учителя по теме «Тождественные преобразования тригонометрических выражений»

80%" />

Формулы преобразования произведения в сумму:

Формулы приведения:

Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.

Пример 1.

Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.

Решение:

Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические

функции .

Решая уравнение sin²α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .

Ответ: .

Пример 2.

Решение:

Ответ: 5.

Пример 3.

Упростите выражения:

Решение:

Данные задания — на применение формул сложения.

Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что

           3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда 

            5) Применим формулу «тангенс суммы», получим

Ответ: .

Пример 4.

Вычислите:

Решение

           1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда 

           2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: 

           3) Представим 75° в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75° = 45° + 30°. Следовательно, 

Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: 

Окончательно получаем, что

          5) Для вычисления значения cos 15° представим 15° как 15° = 45° - 30° (или 15° = 60° - 45°). Тогда 

Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что 

Cледовательно,

Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.

Пример 5.

Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:

Решение

1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:

Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:

2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.

Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.

3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin⁶α + cos⁶α можно представить в виде суммы кубов.

Ответ:

Пример 6.

Найти tgα, если

Решение

Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):

Ответ: 7.

Пример 7.

Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и

Решение

Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим:

, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α < 0.

В приведенной выше формуле выберем знак «минус»:

Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.

Пример 8.

Найти значение выражения:

Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.

С целью сокращения дроби

воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:

Рассмотрим далее выражение 

Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:

Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения:

Поэтому:

Тогда

Окончательно получаем:

Ответ: 1.

Пример 9.

Вычислить sin10° sin30° sin50° sin70°.

Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10° sin50° = 1/2 (cos40° - cos60°) = 1/2 cos 40° - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30° = 1/2, получаем:

Ответ: .

Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.

Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.

Пример 10.

Упростить выражение: 

Так как числитель заданной дроби имеем достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление

Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:

Следовательно, 

Ответ: .

Пример 11.

Доказать тождество при

Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.

Решение

В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:

Вспомнив, что , получаем

Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:

sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому

Таким образом:

Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:

Тогда, 

что и требовалось доказать.

Пример 12.

Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если

Решение

Выпишем формулы для вычисления искомых функций:

Из основного тригонометрического тождества вычислим:

Далее найдем значения искомых выражений:

Ответ: