1. Конспект для учителя по теме «Уравнения касательной к графику функции»

#Актуально #Тексты

1651

Содержание

Теория

рис. 1

Рассмотрим рис. 1

Зафиксируем точку . Если , то значение функции равно . Значит,

имеем точку с координатами ().

Задача:

Составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции в точке с абсциссой , в которой - существует.

Уравнение касательной – это прямая, которая задается формулой:

Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами: и . Исходя из геометрического смысла производной (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент:

Параметр найдем из условия, что касательная проходит через точку (

bra-46-kasatelnaa/m46-3.png"> m46-3

), то есть

Стало быть

Запишем уравнение касательной

Получили уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.

1) () – точка касания касательной и графика функции.

2) - угловой коэффициент касательной к графику функции.

3) – произвольная точка на касательной.

Примеры

Пример 1.

К кривой

в точке с абсциссой

провести касательную.

Решение:

Делаем рисунок

Зафиксируем точку . Значение функции в этой точке равно 1.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:

1) Найти и точку касания.

- дано. Точка касания: .

2) Найти производную в любой точке .

3) Найти значение производной в точке с абсциссой .

4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.

Упрощаем и получаем:

Ответ:

Пример 2

Пусть дано уравнение касательной

Найдите точки пересечения касательной с осями координат.

Решение:

Делаем рисунок.

Итак, первая точка – это точка с координатами .

Вторая точка – точка пересечения с осью , точка с координатами .

Пример 3

Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка .

Рассмотрим прямоугольный треугольник .

Длина катета равна 1. Длина катета

Длину отрезка из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:

Пример 4

Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Решение:

Ясно, что это площадь треугольника - площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.

Следующая задача для самостоятельного решения.

Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .

Примеры для самостоятельного решения

Пример 1

Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = 2sin x + 5 в точке x₀ = π/2.

Решение:

Уравнение касательной:

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Пример 2

Нужно написать уравнение прямой-касательной к

y(x) = x^3 - 2x^2 + 3 в точке x₀ = 2.

Решение:

Следует воспользоваться следующим алгоритмом:

Значение в х₀ = 1:

y(2) = 2 2^2 - 3 2 + 1 = 3.

Производная в заданной точке:

y(2) = 4x - 3 = 5.

Подстановка:

y = y(2) + y(2) (x - x0) = 3 + 5(x - 2) = 3 + 5x - 10 = 5x - 7.

Пример 3

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

если абсцисса точки касания

Решение:

Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем:

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

Пример 4

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

если абсцисса точки касания

Решение:

Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Подставляем все полученные данные в "формулу-болванку" и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 5

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

если абсцисса точки касания

Решение:

Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного "причесать": умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 6

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

если абсцисса точки касания

Решение:

Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Находим уравнение касательной:

Уравнение нормали:

Пример 7

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

если абсцисса точки касания

Решение:

Найдём ординату точки касания:

Найдём производную функции:

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Домашнее задание

Пример 1

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

если абсцисса точки касания

Пример 2

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

если абсцисса точки касания

Пример 3

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

в точке M (1, 1).

Список литературы

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
Сайт https://function-x.ru/derivative_and_tangent.html