1. Конспект для учителя по теме «Степенные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства»

/../mce/plugins/source/10-klass-matematika/algebra-36-urav-i-nerav/m36-7.png" alt="m36-7" width="80%" />

Ответ: 

Пример 2.

Решить уравнение:

Решение:

Преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней:

Введем новую переменную:

Корень , не удовлетворяет условию , поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения:

Ответ: 

Пример 3.

Решить уравнение:

Решение:

Числа 

являются взаимно обратными

Введем новую переменную

Тогда исходное уравнение запишется в виде:

откуда находим значение переменной 

Ответ: 

Показательные неравенства

При решении показательных неравенств надо учитывать,

что показательная функция возрастает при и убывает при

Неравенство:

равносильно неравенству:

Неравенство:

равносильно неравенству:

Пример 4.

Решить неравенство:

Решение:

Исходное неравенство равносильно неравенству:

Ответ: 

Пример 5.

Решить неравенство:

Решение:

Основание степени меньше единицы, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству:

Ответ: 

Пример 6.

Решить неравенство:

Решение:

Введем новую переменную:

Исходное уравнение примет вид:

Решением полученного неравенства является множество:

С учетом условия получаем . Следовательно, откуда .

Ответ: 

Логарифмические уравнения

Логарифмом числа по основанию , где ,

называется показатель степени , в которую надо возвести , чтобы получить .

Основное логарифмическое тождество: 

Основные свойства логарифмов:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

Пример 7.

Решить уравнение:

Решение: 

Воспользовавшись формулой логарифма степени, перепишем исходное уравнение в виде:

Но значение , так же удовлетворяет исходному уравнению. Потеря корня , произошла при неравносильном переходе от логарифма степени к удвоенному логарифму.

Ответ: 

Пример 8.

Решить уравнение: 

Решение:

В соответствии с определением логарифма получаем:

Ответ: 

Пример 9.

Решить уравнение:

Решение: 

Согласно основному логарифмическому тождеству,

Заметим, что 

по основному логарифмическому тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Решив эту систему, получаем .

Ответ: 

.

Пример 10.

Решить уравнение:

Решение: 

Уравнение такого вида содержащие неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, можно решать, логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. В данной задаче целесообразно прологарифмировать обе части по основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.

Получаем:

Введем новую переменную . Тогда полученное уравнение запишется в виде

Решив последнее уравнение, находим:

Ответ: 

Логарифмические неравенства

Неравенство:

при  равносильно системе неравенств:

а при 0 < < 1 – системе неравенств:

Приведенные выше логарифмические неравенства обобщаются на логарифмические неравенства с переменным основанием.

Неравенство:

Равносильно совокупности двух систем неравенств:

Пример 11.

Решить неравенство:

Решение: 

Представим правую часть в виде:

Основание логарифма меньше единицы, значит, при потенцировании знак неравенства следует изменить. Получаем неравенство:

Необходимо записать условие, при котором оно существует, получаем систему:

Решив систему, находим

Ответ: 

Пример 12.

Решить неравенство:

Решение: 

Произведем преобразования:

Введем новую переменную 

Исходное неравенство запишем в виде:

Неравенство можно решать, перейдя к совокупности систем:

Возвращаясь к исходной переменной, получаем:

Ответ: 

Пример 13.

Решить неравенство:

Решение: 

Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Получаем: 

Ответ: