1. Конспект для учителя по теме «Типовые задачи на касательную»
Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки решения типовых задач на касательную.
Уравнение касательной к графику функции
в точке 
(см. рис. 1) имеет вид:
Рис. 1. Касательная к графику функции
в точке .
Угол наклона касательной связан с производной следующим образом:
Уравнение касательной полностью определяется значением абсциссы , поэтому все задачи на касательную, сложные или несложные, связаны с тем, чтобы найти точку . Одним из типов задач на касательную являются приближенные вычисления. В окрестности точки значение функции в точке 
и значение ординаты касательной в точке отличаются на малую величину. На этом была основана вся теория приближенных вычислений.
Существуют многочисленные задачи на применение касательной.
Примеры
Пример 1
Найти площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к кривой
в точке
atika/algebra-62-zadachi-na-kasatel/m62-7.png">
Проиллюстрировать решение на чертеже.
Решение.
Построим график функции
Найдем
Значит, в точке 
функция имеет минимум, в точке 
функция равна 3,
График функции изображен на рис.1.
Рис. 2. График функции
Проведем в точке 
касательную, которая отсекает треугольник искомой площади (см. рис.3).
Рис. 3. Касательная к графику функции
1. Найдем уравнение касательной.
Для этого найдем
Тогда,
- уравнение касательной.
2. Определим треугольник, площадь которого нужно найти:
Итак, получился прямоугольный треугольник, у которого известны катеты (см. рис.4).
Рис. 4. Треугольник, образованный касательной и осями координат.
3. Найдем площадь треугольника:
Ответ:
Итак, одна из стандартных задач – найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Методика построения касательной – стандартная. Точка дана – это самый простой случай. Нужно просто было найти уравнение касательной, точки пересечения с осями, а потом – площадь треугольника.
Примеры для самостоятельного решения
1. На рисунке изображен график функции
(см. рис.4).
И касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 
. Найти значение производной в точке , то есть
Решение.
Знаем, что
Найдем тангенс дополнительного угла 
(см. рис.4):
Рис. 4. График функции
Из рисунка видно, что
отсюда
Ответ:
Домашнее задание
1. Функция 
определена на промежутке 
. На рисунке изображен график ее производной
(см. рис.5).
К графику функции провели все касательные, параллельные прямой
Найти наименьшую из абсцисс точек, в которых проведены эти касательные.
Решение.
Поскольку дан график производной функции, то в каждой точке известен тангенс угла наклона касательной. Все касательные параллельны прямой
в которой 
- угловой коэффициент.
Рис. 5. График производной функции .
Значит,
Проведем прямую 
, и найдем точку с наименьшей абсциссой.
Важно понимать, что на графике изображена не сама функция, а ее производная. Если дана производная, то известен тангенс угла наклона в каждой точке.
Ответ:
