2. Конспект для ученика по теме «Как построить график функции y=tgt, свойства и график функции y=tgt»
Напоминание:
Определение: Функцией /m22-1.png)
называется закон, по которому каждому допустимому значению /m22-2.png)
ставится в соответствие единственное значение y.
Множество всех точек координатной плоскости /m22-3.png)
называется графиком функции .
s-matematika/algebra-22-y%3Dtg(t)/m22-t.png" alt="m22-t" width="13" height="21" /> ставится в соответствие
единственное значение функции /m22-10.png)
. Покажем это графически.
Проведем касательную к числовой окружности в точке A. Заданному значению /m22-t.png)
соответствует единственная точка M, единственная прямая OM и единственная точка T пересечения прямой OM и касательной (рис. 3).
/m22-19.png)
/m22-20.png)
/m22-21.png)
Наша цель – найти координаты точки T, для этого решим систему уравнений.
/m22-22.png)
/m22-23.png)
Ордината точки /m22-24.png)
равна /m22-12.png)
.
Прямую /m22-25.png)
называют линией тангенсов.
Исследование четности и периодичности функции y=tgt
Докажем, что область значений тангенса – это все действительные числа, /m22-26.png)
Доказательство:
Зададим любое действительное значение /M22-7.png)
и докажем, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.
/m22-27.png)
Отложим на линии тангенсов, получим точку /m22-28.png)
(рис. 4).
/m22-29.png)
Соединим её с точкой O, получим прямую /m22-30.png)
, которая пересекает числовую окружность хотя бы в одной точке M, а, значит, существует единственная дуга /m22-31.png)
и хотя бы одно значение , которое равно длине дуги.
Любому действительному значению аргумента соответствует единственное значение функции. Но любому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.
Таким образом, мы задали любое значение функции и доказали, что оно достигается хотя бы при одном значении аргумента.
Отметим два важных свойства функции .
- Нечетность функции.
/m22-32.png)
/m22-33.png)
- Докажем, что период функции равен
/m22-34.png)
.
/m22-35.png)
Таким образом, для любого значения выполняется:
/m22-36.png)
График функции y=tgt
Эти свойства функции позволяют нам легко построить её график.
Период функции равен значит, мы можем изучить её свойства и построить график
на любом участке длиной .
Нечетность функции позволяет симметрично отобразить участок графика относительно начала координат.
С учетом этого построим график функции на промежутке /m22-37.png)
(рис. 5).
/m22-38.png)
Мы получили график функции на заданном промежутке. Можно было построить график и по известным табличным значениям. Например:
/m22-39.png)
Из построенного графика функции на промежутке видно, что функция возрастает. Докажем это.
Рассмотрим график на промежутке . Точки /m22-40.png)
(рис. 6).
/m22-41.png)
Докажем, что /m22-42.png)
.
Доказательство:
/m22-43.png)
На промежутке функция 
возрастает, значит /m22-44.png)
(рис. 7).
/m22-45.png)
/m22-46.png)
На промежутке функция 
убывает, значит /m22-47.png)
(рис. 8).
/m22-48.png)
/m22-49.png)
значит, функция возрастает
на промежутке .
Зная свойства функции, мы можем построить её график на всей области определения.
/m22-51.png)
В точках /m22-52.png)
проходят вертикальные асимптоты (рис. 9).
/m22-53.png)
Свойства функции y=tgt
Рассмотрим основные свойства функции
1) Область определения:
/m22-54.png)
2) Функция периодическая с периодом
/m22-55.png)
3) Функция нечетная.
4) Функция возрастает и непрерывна на любом интервале
/m22-56.png)
5) Функция не ограничена.
6) Функция не имеет ни минимального, ни максимального значения.
7) /m22-57.png)
Решение уравнения
Задача. Решить уравнение
/m22-58.png)
Решение:
На промежутке /m22-59.png)
функция монотонно возрастает, значит, на этом промежутке значение /m22-60.png)
достигается при единственном значении аргумента /m22-61.png)
(рис. 10).
/m22-62.png)
С учетом периодичности получаем
/m22-63.png)
Ответ:
Вывод
Мы рассмотрели функцию , её свойства и график.
На следующем уроке рассмотрим функцию /m22-64.png)
.
/m22-4.png){kind=small}
задана функция /m22-5.png)
/m22-6.png){kind=small}
ставится в соответствие только одно значение /m22-8.png){kind=small}
может достигаться при нескольких значениях аргумента: /m22-9.png){kind=small}
./m22-11.png){kind=small}
./m22-13.png)
/m22-14.png)
/m22-15.png)
/m22-16.png){kind=small}
называют косинусом числа /m22-17.png){kind=small}
- синусом числа /m22-18.png)
