1. Конспект для учителя по теме «Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы»

Монотонность функции

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в), т.е. f(x) > 0, то функция в этом интервале возрастает.
Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале (а; в), т.е.f(x) < 0, то функция в этом интервале убывает.

Алгоритм возрастания и убывания

1. Найти Д(f).
2. Найти f(x).
3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f(x) = 0 или f(x) не существует.
   (Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов
6. Применить признаки.
7. Записать ответ.

Например:

Признаки  максимума и минимума функции:

Если при переходе через стационарную точку х₀  производная f(x)  данной функции меняет знак с « – » на « + »,  то функция в этой точке х₀ имеет минимум. Если при переходе через стационарную точку х₀  производная f(x) данной функции меняет знак с « + » на « – »,  то функция в этой точке х₀ имеет максимум.

Алгоритм нахождения максимума и минимума функции

1. Найти Д(f).
2. Найти f(x).
3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f(x) = 0 или  f(x) не существует.
4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.
5. Определить знаки производной на каждом из интервалов.
6. Применить признаки.
7. Найти у_max,у_min
8. Записать ответ.

Например:

Примеры

Пример 1. 

Исследовать интервалы монотонности функции

f(x)=x³−4x²−16x+17.

Решение:

Сначала находим производную: f(x)=3x²−8x−16.

Это парабола, которая пересекает ось x  в точках x₁=−4/3 и x₂=4, и чьи ветви направлены вверх.

Поэтому производная отрицательна в интервале (−4/3;4) (функция убывает) и положительна в интервалах 

(−∞;−4/3) и (4;+∞) (функция возрастает).

Пример 2.

Исследовать на возрастание и убывание: