1. Конспект для учителя по теме «Функция y=сtgx, ее свойства и график»

2103

На этом уроке мы рассмотрим функцию m23-8 , ее свойства и график. Вначале вспомним определение котангенса на числовой окружности. И вспомним связь между числовым и угловым аргументом. Дадим определение линии котангенсов – касательной к окружности. Построим график функции котангенса в системе координат и рассмотрим ее основные свойства.

Содержание

Определение котангенса

Зададим единственное число . Каждому действительному числу соответствует единственная точка

на числовой окружности (рис. 1). Точка имеет абсциссу и ординату,

абсциссу называют косинусом числа , ординату – синусом числа .

Отношение косинуса к синусу называется котангенсом числа .

Каждому допустимому значению соответствует единственная точка на окружности, единственная пара её координат, а значит и единственное значение дроби , т.е. единственное значение котангенса. Таким образом, задаётся функция или .

Аргументом функции котангенс может быть число или угол . Вспомним связь между числовым и угловым аргументами.

Радианом называется такой центральный угол, длина дуги которого равна (рис. 2).

В окружности штук радиан.

80%" />

Если есть угол и окружность радиуса 1, то длина этой дуги или аргумент связаны с следующим образом:

Котангенс на числовой окружности

Как определить значения котангенса для конкретных значений числового или углового аргумента? Они расположены на линии котангенсов – касательной к окружности в точке B (рис. 3).

Возьмем аргумент или угол . Аргументу или углу в радианах соответствуют синус и косинус. Рассмотрим:

График функции y=ctgt

Изобразим график функции в координатной плоскости. По формулам приведения:

Поэтому для построения графика функции достаточно

график функции симметрично отобразить относительно оси х

и сдвинуть вдоль оси х на влево (рис. 4).

Свойства функции y=ctgt

Исследуем график функции

1) Область определения:

2) Область значений:

a) Каждому допустимому соответствует единственное значение .

b) Любой достигается при одном либо нескольких значениях .

3) Функция нечетна:

График симметричен относительно начала координат.

4) Наименьший положительный период :

Значение периода котангенса также следует из формулы

при том, что нам известен период тангенса.

5) Точки пересечения с осью x:

Точки пересечения с осью y отсутствуют (рис. 4).

6) Определим интервалы знакопостоянства (рис. 5):

7) Функция монотонно убывает на каждом из интервалов

Покажем это:

Рассмотрим промежуток длиной в период. Функция монотонно убывает

от до .

Действительно, если мы возьмем две точки из этого промежутка, такие, что

На каждом из отдельно взятых участков длиной в период функция также монотонно убывает.

8) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Вывод

Мы изучили функцию её график и свойства. Все они будут использоваться в дальнейшем при решении различных задач, в том числе и при решении тригонометрических уравнений, к изучению которым мы приступим на следующем уроке.

Домашнее задание

1. Выучить теорию

2. Написать краткий конспект на эту тему

Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Решить задания № 20.2,20.3(б, г), 20.5, 20.19.