1. Конспект для учителя по теме «Дифференцирование сложных функций. Задача из практики подготовки к ЕГЭ по математике»
Здравствуйте! Сегодня потренируем навыки дифференцирования сложных функций. Порешаем задачи из практики подготовки к ЕГЭ по математике.
Дифференцирование сложной функции. Примеры
Сложную функцию мы уже дифференцировали, но аргументом служила линейная функция, а именно, умеем дифференцировать функцию
Например,
Сейчас таким же образом будем находить производные от сложной функции, где вместо линейной функции может быть другая функция.
Начнем с функции
1. 
Итак, нашли производную синуса от сложной функции, где аргументом синуса была квадратичная функция.
2. 
Если надо будет найти значение производной в конкретной точке, то эту точку нужно подставить в найденную производную.
Итак, на двух примерах увидели, как работает правило дифференцирования сложной функции.
Таблица производных сложных функций
g">
Пример
Пример.
Таким образом, таблицу дифференцирования сложных функций, на данном этапе, закончим. Дальше, конечно, она будет еще больше обобщаться, а сейчас перейдем к конкретным задачам на производную.
Задача из практики подготовки к ЕГЭ
В практике подготовки к ЕГЭ предлагаются следующие задачи.
Найти минимум функции
Решение.
ОДЗ:
Найдем производную 
. Напомним, что
Приравняем производную к нулю
Точка 
- входит в ОДЗ.
Найдем интервалы знакопостоянства производной (интервалы монотонности функции) (см. рис.1).
Рис. 1. Интервалы монотонности для функции
Рассмотрим точку и выясним, является ли она точкой экстремума. Достаточный признак экстремума заключается в том, чтобы производная при переходе через точку меняет знак. В данном случае производная меняет знак, значит, - точка экстремума. Так как производная меняет знак с «-» на «+», то - точка минимума. Найдем значение функции в точке минимума:
Нарисуем схему (см. рис.2).
Рис.2. Экстремум функции
На промежутке 
- функция убывает, на 
- функция возрастает, точка экстремума единственная. Наименьшее значение функция принимает только в точке .
Ответ:
Примеры для самостоятельного решения.
1. Найти производную функции
Решение:
Результат применения формулы 
в чистовом оформлении выглядит так:
2. Найти производную функции
Решение:
Как всегда записываем:
Согласно формуле
3. Найти производную функции
Решение:
Применяем правило дифференцирования сложной функции :
4. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке 
.
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Домашнее задание
1. Найти производную функции
Решение:
2. Найти производную функции
Решение:
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного
но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
Используем правило :
3. Найдите наименьшее значение функции
на отрезке .
Решение:
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 
заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
